Integrabilitatea funcțiilor reale de o variabilă reală și de două variabile reale

Cuprins disertație

Introducere ..4
CAP.I Integrala in sensul lui Riemann
I.1. Definitia integralei in sensul lui Riemann 5
I.2. Criteriul lui Darboux 8
I.3 Clase de functii integrabile. Criteriul lui Lebesgue 10
I.4 Proprietatile functiilor integrabile ...12
CAP.II Integrabilitatea functiei reale de o variabila reala
II.1. Primitiva unei functii 15
II.2. Tabloul primitivelor imediate 16
II.3 Integrala nedefinita 18
II.4 Metode de calcul al primitivelor .20
II.5 Formula lui Leibniz-Newton .24
II.6 Metode de integrare pentru integrale definite 26
II.7 Integrarea functiilor rationale 35
II.8 Legatura dintre unele clase remarcabile 41
CAP.III Integrala dubla
III.1 Notiunea de integrala dubla ..45
III.2 Proprietati generale ale integralei duble ...47
III.3 Reprezentarea integralei duble cu ajutorul sumelor de tip Riemann ...48
III.4 Descompunerea unei integrale duble in integrale simple 49
III.5 Schimbarea de variabile la integrala dubla .54
Bibliografie .64

Extras din disertație

Introducere
Prezenta lucrare are ca scop extinderea notiunii de integrala, inlocuind intervalul de
integrare cu corespondentul sau in plan sau in spatiu. Formal, notiunii de ,,interval
unidimensional'' ii corespunde, in plan, notiunea de ,,interval bidimensional'', iar in spatiu,
aceea de ,,interval tridimensional''.
Lucrarea este format din trei capitole, dupa cum urmeaza:
Capitolul I: Integrala in sensul lui Riemann
Capitolul II: Integrarea functiei reale de o variabila reala
Capitolul III: Integrala dubla
In capitolul I se trateaza notiunile matematice fundamentale pentru studiul integralei
definite ca: notiunile de diviziune a unui interval compact, interval partial al unei diviziuni,
norma a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma Riemann,
functie integrabila. De asemenea, sunt prezentate criteriul lui Darboux, clase de functii
integrabile, criteriul lui Lebesgue, proprietatile functiilor integrabile.
Capitolul al doilea este dedicat metodelor de integrare a functiei reale de o variabila
reala. In acest sens sunt tratate notiunile de primitiva a unei functii, integrala nedefinita si sunt
expuse urmatoarele concepte: tabloul primitivelor imediate, urmat de proprietatile acestora,
metode de calcul al primitivelor, formula lui Leibniz-Newton, metode de integrare pentru
integrale definite, integrarea functiilor rationale, legatura dintre unele clase remarcabile de
functii, fiecare dintre acestea fiind insotita de aplicatii.
Ultimul capitol trateaza conceptul de integrala dubla. De asemenea, ilustreaza
proprietatile generale ale acesteia, teorema de reprezentare a integralei duble prin sume
riemanniene, teorema de descompunere a integralei duble in integrale simple si aplicatii,
teorema de schimbare de variabile la integrala dubla si aplicatii.
5
Capitolul I
Integrala in sensul lui Riemann
I.1. Definitia integralei in sensul lui Riemann
Vom trata in cele ce urmeaza notiunile matematice fundamentale pentru studiul
integralei, ca: notiunile de diviziune a unui interval inchis si marginit, interval partial al unei
diviziuni, norma a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma
Riemann, functie integrabila.
Definitia I.1.1. Fie ????, ???? un interval (inchis si marginit), ???? <= ????. Se numeste
diviziune a intervalului ????, ???? o familie finita de puncte ?= ????1, ????2, ? , ???????? asa incat
???? = ????0 <= ????1 <= ????2 <= ? <= ????????-1 <= ???????? <= ? <= ????????-1 <= ???????? = ????.
Definitia I.1.2. Fiecare din intervalele ????????-1; ???????? , pentru orice ???? ? 1,2, ? , ???? se
numeste interval partial al diviziunii ?. Un interval partial ????????-1; ???????? , pentru orice ???? ?
1,2, ? , ???? poate contine un singur punct, daca ????????-1 = ???????? , ? ???? ? 1,2, ? , ???? .
Definitia I.1.3. Lungimea celui mai mare interval partial al unei diviziuni ?=
????0, ????1, ? , ????????-1, ???????? , ? , ???????? se numeste norma diviziunii ? si se noteaza ?
, unde
? max
1<=????<=????
???????? - ????????-1 .
Definitia I.1.4. Se numeste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ? un
sistem finit de puncte ????? = ????1, ????2, ? , ???????? cu proprietatea ca ???????? ? ????????-1; ???????? , pentru orice
???? ? 1,2, ? , ???? .
Definitia I.1.5. Fie ????: ????, ???? -  R. Numarul notat
????? ????, ????? = ???? ????????
????
????=1
???????? - ????????-1
se numeste suma Riemann asociata functiei ????, diviziunii ? si sistemului de puncte
intermediare ????? .
Definitia I.1.6. Functia ???? este integrabila (in sensul lui Riemann) pe intervalul
????, ???? , daca pentru orice sir de diviziuni ????? cu norma tinzand catre 0, ????? -  0, si pentru
orice alegere a punctelor intermediare ???????? , ? ???? ? 1,2, ? , ???? , sirurile corespunzatoare
????????? ????, ?????n de sume integrabile au o limita finita comuna ????. Numarul ???? se numeste
integrala (in sensul lui Riemann) functiei ???? pe intervalul ????, ???? si se noteaza

Fisiere în arhivă (1):

 Integrabilitatea functiilor reale de o variabila reala si de doua variabile reale.PDF

Imagini din acest disertație

Bibliografie

1 Albu T., Ion D.Ion -  Capitole de teoria algebrica a numerelor, Editura Academiei
Romaniei, Bucuresti, 1984.
2 Arama L., Morozan T. -  Culegere de probleme de calcul diferential si integral, vol.I,
Editura Tehnica, Bucuresti, 1964.
3 Baetica C., Dascalescu S. -  Probleme de algebra, Bucuresti, 1993.
4 Batinetu D.M. -  Siruri, Editura Albatros, Bucuresti, 1979.
5 Bucur Gh., Campu E., Gaina S. -  Culegere de probleme de calcul diferential si integral,
vol.II, Editura tehnica, Bucuresti, 1966.
6 Carja O. -  Calcul integral, http://www.math.uaic.ro/~ocarja.
7 Cohn P.M. -  Algebra, vol.I, 2 John Wiley and Sons, Londra, 1974, 1977.
8 Creanga I., Enescu I. -  Algebre, Editura Tehnica, 1973.
9 Dragusin C., Olteanu O., Gavrila M. -  Analiza matematica. Probleme, vol.I, Editura
Matrix Rom, Bucuresti, 2006.
10 Dinculeanu N., Nicolescu M., Marcus S. -  Analiza matematica, vol.I, II, Editura
Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1966, 1980.
11 Galbura Gh. -  Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1965.
12 Leonte A.V., Niculescu C.P. -  Culegre de probleme de algebra si analiza matematica,
Editura Scrisul Romanesc, Craiova, 1981.
13 Maor E. -  Splendorile trigonometriei. O perspectiva istorica, Editura Theta, Bucuresti,
2007.
14 Marcus S. -  Notiuni de analiza matematica, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1967.
15 Nicolescu M. -  Analiza matematica, vol.II, Editura Tehnica, 1958.
16 Precupeanu A.M. -  Bazele analizei matematice, Editura Universitatii ,,Al.I.Cuza'', Iasi,
1993.
17 Precupeanu A.M. -  Analiza matematica. Functii reale, Editura Didactica si Pedagogica,
Bucuresti, 1976.
18 Radomir I., Fulga A. -  Analiza matematica, Editura Albastra, Cluj-Napoca, 2008.
19 Sabodas A. -  Analiza matematica. Note de curs si seminar, Editura Universitatii Tehnice
,,Gh.Asachi'', Iasi, 2001.
20 Siretchi Gh. -  Calcul diferential si integral, vol.I, II, Editura Stiintifica si Enciclopedica,
Bucuresti, 1985.
21 Vasilache S. -  Elemente de teoria multimilor si a structurilor algebrice, Editura
Academiei Romane, 1956.