Introducere ..4 CAP.I Integrala in sensul lui Riemann I.1. Definitia integralei in sensul lui Riemann 5 I.2. Criteriul lui Darboux 8 I.3 Clase de functii integrabile. Criteriul lui Lebesgue 10 I.4 Proprietatile functiilor integrabile ...12 CAP.II Integrabilitatea functiei reale de o variabila reala II.1. Primitiva unei functii 15 II.2. Tabloul primitivelor imediate 16 II.3 Integrala nedefinita 18 II.4 Metode de calcul al primitivelor .20 II.5 Formula lui Leibniz-Newton .24 II.6 Metode de integrare pentru integrale definite 26 II.7 Integrarea functiilor rationale 35 II.8 Legatura dintre unele clase remarcabile 41 CAP.III Integrala dubla III.1 Notiunea de integrala dubla ..45 III.2 Proprietati generale ale integralei duble ...47 III.3 Reprezentarea integralei duble cu ajutorul sumelor de tip Riemann ...48 III.4 Descompunerea unei integrale duble in integrale simple 49 III.5 Schimbarea de variabile la integrala dubla .54 Bibliografie .64
Introducere Prezenta lucrare are ca scop extinderea notiunii de integrala, inlocuind intervalul de integrare cu corespondentul sau in plan sau in spatiu. Formal, notiunii de ,,interval unidimensional'' ii corespunde, in plan, notiunea de ,,interval bidimensional'', iar in spatiu, aceea de ,,interval tridimensional''. Lucrarea este format din trei capitole, dupa cum urmeaza: Capitolul I: Integrala in sensul lui Riemann Capitolul II: Integrarea functiei reale de o variabila reala Capitolul III: Integrala dubla In capitolul I se trateaza notiunile matematice fundamentale pentru studiul integralei definite ca: notiunile de diviziune a unui interval compact, interval partial al unei diviziuni, norma a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma Riemann, functie integrabila. De asemenea, sunt prezentate criteriul lui Darboux, clase de functii integrabile, criteriul lui Lebesgue, proprietatile functiilor integrabile. Capitolul al doilea este dedicat metodelor de integrare a functiei reale de o variabila reala. In acest sens sunt tratate notiunile de primitiva a unei functii, integrala nedefinita si sunt expuse urmatoarele concepte: tabloul primitivelor imediate, urmat de proprietatile acestora, metode de calcul al primitivelor, formula lui Leibniz-Newton, metode de integrare pentru integrale definite, integrarea functiilor rationale, legatura dintre unele clase remarcabile de functii, fiecare dintre acestea fiind insotita de aplicatii. Ultimul capitol trateaza conceptul de integrala dubla. De asemenea, ilustreaza proprietatile generale ale acesteia, teorema de reprezentare a integralei duble prin sume riemanniene, teorema de descompunere a integralei duble in integrale simple si aplicatii, teorema de schimbare de variabile la integrala dubla si aplicatii. 5 Capitolul I Integrala in sensul lui Riemann I.1. Definitia integralei in sensul lui Riemann Vom trata in cele ce urmeaza notiunile matematice fundamentale pentru studiul integralei, ca: notiunile de diviziune a unui interval inchis si marginit, interval partial al unei diviziuni, norma a unei diviziuni, sistem de puncte intermediare asociat unei diviziuni, suma Riemann, functie integrabila. Definitia I.1.1. Fie ????, ???? un interval (inchis si marginit), ???? <= ????. Se numeste diviziune a intervalului ????, ???? o familie finita de puncte ?= ????1, ????2, ? , ???????? asa incat ???? = ????0 <= ????1 <= ????2 <= ? <= ????????-1 <= ???????? <= ? <= ????????-1 <= ???????? = ????. Definitia I.1.2. Fiecare din intervalele ????????-1; ???????? , pentru orice ???? ? 1,2, ? , ???? se numeste interval partial al diviziunii ?. Un interval partial ????????-1; ???????? , pentru orice ???? ? 1,2, ? , ???? poate contine un singur punct, daca ????????-1 = ???????? , ? ???? ? 1,2, ? , ???? . Definitia I.1.3. Lungimea celui mai mare interval partial al unei diviziuni ?= ????0, ????1, ? , ????????-1, ???????? , ? , ???????? se numeste norma diviziunii ? si se noteaza ? , unde ? max 1<=????<=???? ???????? - ????????-1 . Definitia I.1.4. Se numeste sistem de puncte intermediare asociat diviziunii ? un sistem finit de puncte ????? = ????1, ????2, ? , ???????? cu proprietatea ca ???????? ? ????????-1; ???????? , pentru orice ???? ? 1,2, ? , ???? . Definitia I.1.5. Fie ????: ????, ???? - R. Numarul notat ????? ????, ????? = ???? ???????? ???? ????=1 ???????? - ????????-1 se numeste suma Riemann asociata functiei ????, diviziunii ? si sistemului de puncte intermediare ????? . Definitia I.1.6. Functia ???? este integrabila (in sensul lui Riemann) pe intervalul ????, ???? , daca pentru orice sir de diviziuni ????? cu norma tinzand catre 0, ????? - 0, si pentru orice alegere a punctelor intermediare ???????? , ? ???? ? 1,2, ? , ???? , sirurile corespunzatoare ????????? ????, ?????n de sume integrabile au o limita finita comuna ????. Numarul ???? se numeste integrala (in sensul lui Riemann) functiei ???? pe intervalul ????, ???? si se noteaza
1 Albu T., Ion D.Ion - Capitole de teoria algebrica a numerelor, Editura Academiei Romaniei, Bucuresti, 1984. 2 Arama L., Morozan T. - Culegere de probleme de calcul diferential si integral, vol.I, Editura Tehnica, Bucuresti, 1964. 3 Baetica C., Dascalescu S. - Probleme de algebra, Bucuresti, 1993. 4 Batinetu D.M. - Siruri, Editura Albatros, Bucuresti, 1979. 5 Bucur Gh., Campu E., Gaina S. - Culegere de probleme de calcul diferential si integral, vol.II, Editura tehnica, Bucuresti, 1966. 6 Carja O. - Calcul integral, http://www.math.uaic.ro/~ocarja. 7 Cohn P.M. - Algebra, vol.I, 2 John Wiley and Sons, Londra, 1974, 1977. 8 Creanga I., Enescu I. - Algebre, Editura Tehnica, 1973. 9 Dragusin C., Olteanu O., Gavrila M. - Analiza matematica. Probleme, vol.I, Editura Matrix Rom, Bucuresti, 2006. 10 Dinculeanu N., Nicolescu M., Marcus S. - Analiza matematica, vol.I, II, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1966, 1980. 11 Galbura Gh. - Algebra, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1965. 12 Leonte A.V., Niculescu C.P. - Culegre de probleme de algebra si analiza matematica, Editura Scrisul Romanesc, Craiova, 1981. 13 Maor E. - Splendorile trigonometriei. O perspectiva istorica, Editura Theta, Bucuresti, 2007. 14 Marcus S. - Notiuni de analiza matematica, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1967. 15 Nicolescu M. - Analiza matematica, vol.II, Editura Tehnica, 1958. 16 Precupeanu A.M. - Bazele analizei matematice, Editura Universitatii ,,Al.I.Cuza'', Iasi, 1993. 17 Precupeanu A.M. - Analiza matematica. Functii reale, Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976. 18 Radomir I., Fulga A. - Analiza matematica, Editura Albastra, Cluj-Napoca, 2008. 19 Sabodas A. - Analiza matematica. Note de curs si seminar, Editura Universitatii Tehnice ,,Gh.Asachi'', Iasi, 2001. 20 Siretchi Gh. - Calcul diferential si integral, vol.I, II, Editura Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1985. 21 Vasilache S. - Elemente de teoria multimilor si a structurilor algebrice, Editura Academiei Romane, 1956.
Ne pare rau, pe moment serviciile de acces la documente sunt suspendate.