Rolul noțiunii de limită în unele probleme de matematică

Cuprins disertație

1. Introducere .5
2. Capitolul I: Notiuni sumare de topologie
1.1 Elemente de topologie generala . .6
1.2 Spatii metrice .. 8
1.3 Spatii vectoriale ..9
1.4 Spatiu normat ..9
1.5 Spatii Hilbert .10
1.6 Aplicatii .12
3. Capitolul II: Siruri din Rn
2.1 Limita unui sir ...16
2.2 Siruri fundamentale ...17
2.3 Lema lui Cesaro. Teorema lui Weierstrass -  Bolzano.
Teorema lui Borel -  Lebesgue . 19
2.4 Siruri convergente din R 21
2.5Aplicatii . 23
4. Capitolul III: Limite de functii. Continuitate
3.1 Limite de functii reale de variabila reala 34
3.2 Limite laterale .36
3.3 Propietatile limitelor de functii ...41
3.4 Continuitatea functiilor reale de variabila reala ..45
3.5 Propietatile functiilor continue ... 48
3.6 Limita functiilor vectoriale .. 57
3.7 Aplicatii ... 65
5. Bibliografie 71

Extras din disertație

Introducere
Notiunea de limita este indispensabila in definirea si studiul conceptelor de baza ale analizei matematice: continuitatea, derivabilitatea si integrabilitatea functiilor.
Germenii notiunii de limita trebuie sa fie aparut din cele mai vechi timpuri, de vreme ce babilonienii aproximau radacina patrata dintr -  un numar pozitiv de forma , unde (xn)n 1 este sirul dat de relatia de recurenta xn = , pentru n 1 si x1 = a.
Aceasta aproximatie s-a dovedit ulterior nu numai corecta ci si avantajoasa pentru calculul numeric.
Apoi pentru determinarea lungimii la un cerc de raza r, grecii utilizau aproximarea l pn, unde pn = 2rn sin /n este perimetrul poligonului regulat cu n laturi inscris in acest cerc.
In formularile lor moderne, notiunile de limita de siruri si de limita de functii intr-un punct se intalnesc in cartile lui B. Bolzano (1817) si Cauchy (1821), iar in forme apropiate de cele actuale apar odata cu inceputurile elaborarii riguroase a conceptului de multime a numerelor reale in lucrarea lui G. Cantor (1872) si Weierstrass (1874).
Dintre contributiile ultimului sfert de secol mentionam cercetarile de analiza nestandart ale lui A. Robinson (1960) in care conceptualul de limita se echivaleaza cu o teorie revitalizata a infinitatilor mici precum si cele ale lui E. Y. Mc. Shane relative la introducerea axiomatic a notiunii de limita. 
Ideea de limita a unei functii f : E -> R intr-un punct a R a aparut din necesitatea de a descrie comportarea lui f in jurul lui a, mai ales in apropierea lui a exista o infinitate de puncte ale lui E, adica atunci cand a este punct de acumulare pentru E.
Capitolul I 
Notiuni de topologie
1.1 Elemente de topologie generala
O topologie asupra unei multimi nevide X este prin definitie o familie de multimi care se bucura de urmatoarele trei propietati:
-  Intersectia a doua multimi din este un element din 
-  Oricare reuniune de elemente din este un element din 
-  X si 
Multimea X se numeste spatiul topologiei iar perechea ( , ) este prin definitie spatiul topologic.
Fie x0 un punct de pe o dreapta.Vom numi vecinatate a lui x0, orice punct V care contine un interval deschis (a, b) care contine pe x0 astfel incat x0 (a,b) V. In particular orice interval deschis (a, b) care contine pe x0, adica a < x0 < b este o vecinatate a lui x0. (fig. 1.1)
a x0 b 
(fig. 1.1) 
Vecinatatile de forma ( ) se numesc vecinatati simetrice ale lui x0. (fig. 1.2)
x 
(fig. 1.2)
Observatie: Orice vecinatate V a lui x0 contine o vecinatate simetrica a lui x0.
Demonstratie: Fie (a,b) un interval deschis si x0 (a,b) V. Cum a< x0<b rezulta:
a = min(x0-a,b- x0)>0 si (x0- ,x0+ ) (a,b) V.
Propietati: 
-  Orice punct x X are o vecinatate. Intr-adevar X este o vecinatate pentru oricare din punctele sale.
-  Daca V este o vecinatate a lui X si U V, atunci U este o vecinatate a lui X.
-  Daca V' si V'' sunt doua vecinatati ale lui x atunci este o vecinatate a lui X.
-  Daca V este o vecinatate a lui X, exista o parte G V astfel incat V este vecinatate a oricarui punct din G. 
Aceste propietati sunt suficiente pentru a defini o topologie in felul urmator:

Fisiere în arhivă (1):

 Rolul notiunii de limita in unele probleme de matematica.doc

Imagini din acest disertație

Bibliografie

-  Miron Nicolescu -  'Analiza matematica ' vol. I si II
Editura Didactica si Pedagogica -  Bucuresti 1958
-  Anca precupanu -  'Bazele analizei matematice'
Collegium -  1998
-  Rosculet M. - 'Analiza matematica ' vol. I
Editura Didactica si Pedagogica -  1978
-  Stanasila O. - 'Analiza matematica ' 
Editura Didactica si Pedagogica -  1981
-  Nicolae Dinculescu si Eugen Radu - ' Elemente de analiza matematica '
Editura Didactica si Pedagogica -  1974
-  Ghoeorghiu N. si Precupanu T. - 'Analiza matematica '
Editura Didactica si Pedagogica -  1979
-  Mircea Ganga -  'Elemente de analiza matematica'
Editura Mathpress - 2003