Formula lui Taylor si Aplicatii

Cuprins licenta Cum descarc?

Introducere pg. 2
1. Capitolul I. Derivate de ordin superior pg. 3
1.1. Functii derivabile pg. 3
1.2. Derivate de ordin superior pentru functii de o singura
variabila pg. 8
1.3. Derivate partiale si diferentiale de ordin superior pentru
functii de doua variabile pg. 11
2. Capitolul II. Formula lui Taylor pg. 15
2.1. Formula lui Taylor pentru functii de o singura variabila pg. 15
2.2. Formula lui Taylor pentru functii de doua variabile pg. 27
3. Capitolul III. Aplicatii ale formulei lui Taylor pg. 36
3.1. Cazuri particulare pg. 36
3.2. Puncte de extrem pentru functii de o singura variabila pg. 39
3.3. Puncte de extrem pentru functii de mai multe variabile pg. 43
3.3.1. Conditii necesare de extrem local pg. 44
3.3.2. Conditii su?ciente de extrem local pg. 48
3.3.3. Conditii su?ciente de extrem pentru functii de doua
variabile pg. 51
3.4. Serii Taylor pg. 54
3.4.1. Serii numerice pg. 54
3.4.2. Serii de functii pg. 56
3.4.3. Serii de puteri pg. 58
3.4.4. Serii Taylor pg. 62
3.4.5. Exemple de dezvoltari in serii MacLaurin pg. 66
Bibliogra?e pg.70


Extras din licenta Cum descarc?

Introducere
Una din notiunile fundamentale ale analizei matematice si in fond a in-
tregii stiinte, este cea de derivata, atribuita lui G. Leibniz (1646-1716) si I.
Newton (1642-1727).
Aceasta notiune modeleaza cea ce s-ar numi "viteza de variatie a unei
functii", permite adancirea studiului local si global al functiilor si in acelasi
timp sta la baza formularii matematice a numeroase legi ale ?zicii. Dar si in
alte teorii (chimice, economice, sociale, etc.) derivatele sunt folosite in mod
esential pentru descrierea vitezelor de variatie a unor marimi.
O importanta formula, utilizata in special in aproximarea controlabila a
functiilor reale prin polinoame, formula lui Taylor, permite unele precizari in
studiul functiilor initiat in liceu, calculul aproximativ al numerelor irationale
exprimate prin radicali, functii trigonometrice sau logaritmice, calculul lim-
itelor de functii, etc.
Lucrarea de fata este structurata in trei capitole si doreste un sprijin
in studiul derivatelor de ordin superior, a formulei lui Taylor si aplicatiile
acesteia.
Primul capitol cuprinde rezultate teoretice cu privire la functii derivabile
urmand ca in al doilea capitol sa cuprinda formula lui Taylor data sub diferite
forme, iar in ultimul capitol sunt prezentate cateva aplicatii ale acestei for-
mule.
2
1 Capitolul I. DERIVATE DE ORDIN SU-
PERIOR
1.1 Functii derivabile.
De?nitia 1.1.1 Fie A  R o multime, x0 2 A A0 si f : A ! R :
a) Se spune ca functia f are derivata in punctul x0 daca exista limita:
lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0
= f0(x0) (1)
b) Daca derivata f0(x0) exista si este ?nita, se spune ca functia f este
derivabila in punctul x0:
Observatia 1.1.1 i) Facand traslatia x x0 = h, atunci rezulta:
f0(x0) = lim
h!0
x0+h2A
f(x0 + h) f(x0)
h
(1?)
ii) Uneori se utilizeaza notatiile 4x = xx0; 4f = f(x)f(x0) si deci:
f0(x0) = lim
4x!0
4f
4x
(1?)
Teorema 1.1.1 Orice functie derivabila intr-un punct este continua
in acel punct.
Demonstratie:
Fie f : A ! R, f derivabila in x0 2 A A0:
Deci, exita:
lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0
si sa ?e ?nita.
Din relatia:
f(x) f(x0) =
f(x) f(x0)
x x0
(x x0); x 6= x0
3
rezulta:
lim
x!x0
(f(x) f(x0)) = lim
x!x0
f(x) f(x0)
x x0  lim
x!x0
(x x0) = f0(x0)  0 = 0
deci:
lim
x!x0
f(x) = f(x0)
adica f este continua in x.
Proprietatea 1.1.1 Orice functie elementara este continua si chiar inde?nit
derivabila pe orice interval deschis continut in domeniul sau de de?nitie.
Proprietatea 1.1.2 Fie I un inerval deschis si x0 2 I un punct de extrem
(relativ) al unei functii f : I ! R. Daca f este derivabila in punctul x0,
atunci f0(x0) = 0 (Teorema lui P. Fermat, 1601-1665).
Proprietatea 1.1.3 Fie f : [a; b] ! R o functie continua pe [a; b], deriv-
abila pe (a; b) si f(a) = f(b): Atunci exista cel putin un  2 (a; b) astfel incat
f0() = 0:(Teorema lui M. Rolle, 1652-1719).
Proprietatea 1.1.4 Fie f : [a; b] ! R o functie continua pe [a; b], deriv-
abila pe (a; b): Atunci:
a) exista cel putin  2 (a; b) astfel incat f(b) f(a) = (b a)f0();
b) f constanta pe [a; b] daca si numai daca f0(x) = 0; 8x 2 (a; b);
c) daca f0 > 0 (respectiv f0 < 0) pe intervalul (a; b), atunci f este
strict crescatoare (respectiv strict descrescatoare) pe [a; b]: (Teorema lui
Lagrange, 1736-1813)
Proprietatea 1.1.5 Fie f; g : [a; b] ! R functii continue pe [a; b] si deriv-
abile pe (a; b). Atunci exista cel putin c 2 (a; b) astfel incat:
(f(b) f(a))g0(c) = (g(b) g(a))f0(c)


Fisiere in arhiva (1):

  • Formula lui Taylor si Aplicatii.pdf

Imagini din aceasta licenta Cum descarc?

Banii inapoi garantat!

Plateste in siguranta cu cardul bancar si beneficiezi de garantia 200% din partea Diploma.ro.


Descarca aceasta licenta cu doar 9 €

Simplu si rapid in doar 2 pasi: completezi adresa de email si platesti.

1. Numele, Prenumele si adresa de email:

Pe adresa de email specificata vei primi link-ul de descarcare, nr. comenzii si factura (la plata cu cardul). Daca nu gasesti email-ul, verifica si directoarele spam, junk sau toate mesajele.

2. Alege modalitatea de plata preferata:



* La pretul afisat se adauga 19% TVA.


Hopa sus!