Funcții Trigonometrice

Capitolul I. Funcţii trigonometrice

Sisteme de măsură pentru unghiuri şi arce

În trigonometrie se utilizează două unităţi de măsură a unghiurilor:

Măsura în grade

În acest sistem de măsură unitatea de măsură a unghiului este gradul (1°), definit ca măsura unghiului egal cu a 90-a parte din unghiul drept. Submultiplii săi sunt minutul (1'), egal cu a 60-a parte din grad, şi secunda (1'') – a 60-a parte din minut. Deci 1°=60', 1^'=60''.

Măsura unghiului alungit (desfăşurat) este de 180° (de 2 ori mai mare decât a unghiului drept); măsura unghiului complet (în jurul unui punct) este de 360°. [12, p.155] [5, p.171]

Măsura în radiani

Sistemul de măsură în radiani a unghiurilor are la bază următoarea afirmaţie: raportul dintre lungimea arcului circular, corespunzător unui unghi la centru, şi lungimea razei arcului cercului este o mărime constantă, care nu depinde de rază.

Definiţie: „Fie l lungimea arcului circular de raza r. Numărul α, egal cu raportul dintre lungimea arcului circular şi lungimea razei cercului, se numeşte măsura în radiani a arcului (şi a unghiului la centru corespunzător acestui arc). Astfel α=l/r.”[12, p.155]

Trecerea de la o măsură la alta se realizează folosind faptul că efectuând măsurări ale aceluiaşi unghi (arc) cu două unităţi de măsură diferite se obţin numere, raportul cărora este egal cu raportul unităţilor de măsură respective. Prin urmare, dacă a° este măsura în grade, iar α - măsura în radiani a unui unghi alungit, atunci (a°)/α=(180°)/π, de unde α=(a°)/(180°)∙π rad, a°=α/π∙180°.

[12, p.156]

În continuare prezint exemple:

Exemplul 1: Măsura în radiani (α)a unghiului complet este 2π. Într-adevăr, deoarece lungimea cercului este 2πr, rezultă că α=2πr/r=2π rad, unde π≈3,1416 este un număr iraţional. Măsura în radiani a unghiului alungit este π rad , iar a unghiului drept este π/2 rad.

[12, p. 155]

Exemplul 2: Transformaţi în radiani măsurile unghiurilor de:

30°; b) 45°; c) 135°; d) 225°;

Rezolvare:

α=(π∙30°)/(180°)=π/6(radiani);

α=(π∙45°)/(180°)=π/4(radiani);

α=(π∙135°)/(180°)=3π/4(radiani);

α=(π∙225°)/(180°)=5π/4(radiani).

Exemplul 3:

Scrieţi în grade măsurile unghiurilor de:

π/5 radiani; b) 5π/6 radiani; c) π/10 radiani; d) π/18 radiani;

Rezolvare:

a°=(180°∙π)/5π=36°;

a°=(180°∙5π)/6π=150°;

a°=(180°∙π)/10π=18°;

a°=(180°∙π)/18π=10°.

[11, p.192]

Funcţiile trigonometrice sinus, cosinus, tangenta, cotangentă

Cerc trigonometric se numeşte cercul de rază l cu centrul în originea sistemului de coordonate.

Lemă: Dacă semidreptele [OM1, [OM2 coincid (M_1≠0, M_2≠0), atunci x_1/y_1 =x_2/y_2 (2), unde M_1 (x_1,y_1), M_2 (x_2,y_2 ) sunt puncte într-un sistem cartezian de coordonate xOy şi y_1∙y_2≠0, (Fig. 1).

Observaţie: Dacă punctul M_1 aparţine cadranului I, rapoartele (2) reprezintă, respectiv, cotangenta, cosinusul, sinusul unghiului ascuţit. Întrucât valorile acestor rapoarte nu depind de lungimea segmentului [〖OM〗_1], ci numai de măsura unghiului format de semidreapta [〖OM〗_1 cu semiaxa pozitivă [Ox, în continuare vom examina numai punctele situate pe cercul trigonometric