Grupuri

Capitolul I

Notiuni generale de teoria

modulelor

1.1Introducere module.Definitii interpretari

Modulul este o generalizare a unui spatiu vectorial,adica :daca operatia externa(inmultirea cu scalar), in cazul spatiului vectorial, se defineste cu ajutorul unui corp (comutativ), in cazul modulelor se va folosi pentru aceasta un inel.

Fie R un inel unitar, nu neaparat comutativ si M un grup abelian in raport cu o operatie interna notata aditiva: (M,+).

Definitie1.1.1Fie Run inel.Un R-modul stang este un grup abelian M(a carei

op. este notata aditiv)impreuna cu o aplicatie(a,x)- ax de la

R- M- M a.i:

(i)a(x+y)=ax+ay;

(ii)(a+b)x=ax+bx;

(iii)(ab)x=a(bx);

(iv)1x=x;(1 elementul identitate din R)pentru  a,bєR si

x,yєM

Definitie1.1.2 Fie Run inel.Un R-modul drept este un grup abelianM(a carei

op.este notata aditiv)impreuna cu o aplicatie(x,a)- xa de la

M- R- M a.i:

(i’)(x+y)a=xa+ya;

(ii’)x(a+b)=xa+xb;

(iii’)x(ab)=(ax)b;

(iv’)x1=x;(1 elementul identitate din R)pentru  a,bєR si

x,yєM

OBS: elementele din R se numesc scalari iar aplicatia (a,x)- ax resp

(x,a)- xa se numeste inmultirea cu scalari

Daca R este un corp ,atunci orice R-modul stang(drept) se numeste

R-spatiu vectorial stang(drept)

Notatii :daca M este R-modul stang(drept) vom scrie RM(MR)

Definitia 1.1.3.Fie M si N doua R-module stangi.Se numeste morfism

de R-module (sau R-morfism), o aplicatie f:M- N cu

proprietatile:

x,yєM, are loc f(x+y)=f(x)+f(y), adica f

pastreaza operatia interna

aєR, xєM, are loc f(ax)=af(x), adica f

pastreaza operatia externa.

OBS: cele doua conditii din definitia unui R-morfism sunt echivalente cu :

 a,bєR, x,yєM,are loc f(ax+by)=af(x)+bf(y)

daca M=N,f se numeste endomorfism,iar multimea

endomorfismelor stangi se noteaza cu End1(M) care impreuna cu operatia de adunare a functiilor si operatia de compunere a morfismelor formeaza o structura

o altfel de definitie aR-modului stang poate fi :

Definitia 1.1.4 O pereche (M,- ) se numeste R-modul stang

,daca M este un grup abelian,iar - :R- End1(M)

este un morfism de inele de la inelul R la inelul

endomorfismelor cu actiune la stanga a lui M

OBS :Actiunea morfismului - se intelege in modul

urmator aєR, - (a):M- M,- (a)(x)єM, cu proprietatile : a) - (a)(x+y)= - (a)(x)+ - (a)(y)

b)- (a+b)(x)=- (a)(x)+- (a)(x)

c) - (ab)(x)= - (a)(- (a)(x))

d) - (1)(x)=x

Daca notam - (a)(x)=ax, se obtin conditiile din definitia 1.1.1. Analog se defineste structura la dreapta.

Fie R si S doua inele

Definitia 1.1.5 Un grup abelian M este un bimodul R-stang si S-drept,

daca M este un R-modul stand si un S-modul drept,

pentru care cele doua inmultiri cu scalari satisfac relatia:

r(xs)=(rx)s, rєR, sєS, xєM

Notam :bimodulul cu RMS

OBS:iar bimodulul R-stang si S-stang se noteaza astfel R-SM