Grupuri

Extras din licență

Capitolul I
Notiuni generale de teoria 
modulelor
1.1Introducere module.Definitii interpretari
Modulul este o generalizare a unui spatiu vectorial,adica :daca operatia externa(inmultirea cu scalar), in cazul spatiului vectorial, se defineste cu ajutorul unui corp (comutativ), in cazul modulelor se va folosi pentru aceasta un inel.
Fie R un inel unitar, nu neaparat comutativ si M un grup abelian in raport cu o operatie interna notata aditiva: (M,+).
Definitie1.1.1Fie Run inel.Un R-modul stang este un grup abelian M(a carei 
op. este notata aditiv)impreuna cu o aplicatie(a,x)- ax de la 
R- M- M a.i:
(i)a(x+y)=ax+ay;
(ii)(a+b)x=ax+bx;
(iii)(ab)x=a(bx);
(iv)1x=x;(1 elementul identitate din R)pentru ? a,b?R si 
?x,y?M
Definitie1.1.2 Fie Run inel.Un R-modul drept este un grup abelianM(a carei 
op.este notata aditiv)impreuna cu o aplicatie(x,a)- xa de la 
M- R- M a.i:
(i')(x+y)a=xa+ya;
(ii')x(a+b)=xa+xb;
(iii')x(ab)=(ax)b;
(iv')x1=x;(1 elementul identitate din R)pentru ? a,b?R si 
?x,y?M
OBS: elementele din R se numesc scalari iar aplicatia (a,x)- ax resp 
(x,a)- xa se numeste inmultirea cu scalari
Daca R este un corp ,atunci orice R-modul stang(drept) se numeste
R-spatiu vectorial stang(drept) 
Notatii :daca M este R-modul stang(drept) vom scrie RM(MR)
Definitia 1.1.3.Fie M si N doua R-module stangi.Se numeste morfism 
de R-module (sau R-morfism), o aplicatie f:M- N cu 
proprietatile: 
?x,y?M, are loc f(x+y)=f(x)+f(y), adica f 
pastreaza operatia interna 
?a?R, ?x?M, are loc f(ax)=af(x), adica f 
pastreaza operatia externa.
OBS: cele doua conditii din definitia unui R-morfism sunt echivalente cu :
? a,b?R,? x,y?M,are loc f(ax+by)=af(x)+bf(y) 
daca M=N,f se numeste endomorfism,iar multimea 
endomorfismelor stangi se noteaza cu End1(M) care impreuna cu operatia de adunare a functiilor si operatia de compunere a morfismelor formeaza o structura
o altfel de definitie aR-modului stang poate fi :
Definitia 1.1.4 O pereche (M,- ) se numeste R-modul stang 
,daca M este un grup abelian,iar - :R- End1(M) 
este un morfism de inele de la inelul R la inelul
endomorfismelor cu actiune la stanga a lui M
OBS :Actiunea morfismului -  se intelege in modul 
urmator ?a?R, - (a):M- M,- (a)(x)?M, cu proprietatile : a) - (a)(x+y)= - (a)(x)+ - (a)(y)
b)- (a+b)(x)=- (a)(x)+- (a)(x)
c) - (ab)(x)= - (a)(- (a)(x))
d) - (1)(x)=x
Daca notam - (a)(x)=ax, se obtin conditiile din definitia 1.1.1. Analog se defineste structura la dreapta.
Fie R si S doua inele 
Definitia 1.1.5 Un grup abelian M este un bimodul R-stang si S-drept, 
daca M este un R-modul stand si un S-modul drept, 
pentru care cele doua inmultiri cu scalari satisfac relatia: 
r(xs)=(rx)s, ?r?R, ?s?S, ?x?M
Notam :bimodulul cu RMS 
OBS:iar bimodulul R-stang si S-stang se noteaza astfel R-SM

Fisiere în arhivă (1):

 Grupuri.doc

Imagini din acest licență

Bibliografie

1.C.Nastasescu,Inele.Module.Categorii, Ed. Did. si Ped. 
2.F.Anderson, K. Fuller, Theory of Modules
3. B. O. Stainstrom, Qotin Rings
4. I. Ion, N. Radu, Algebra, Ed. Did. si Ped ,1981
5. T. Albu, C. Nastasescu. Relative Finitness in Module Theory, Dekker, New York, 1984
6. S. M. Khuri,Modules whith regular, perfect noetherian and artinian endomorphism Rings, in Non-Comutative Theory, Lecture Notes in Mathematics,
vol 1448, eds. S. K. Jain and S. R. Lopez-Permouth, p.7-18
7. S. M. Khuri,Corespondence Theorems for Modules and their endomorphism
Rings, J. Algebra 122 (1989), 380-396.