Licență inele

Introducere

Lucrarea îşi propune să prezinte teoremele clasice de structură a inelelor în algebra modernă.

În primul capitol am prezentat noţiuni generale de teoria inelelor, prezentând definiţia clasică a inelului, noţiunile de subinel şi ideal, morfisme şi izomorfisme de inel şi construcţia clasică a inelului factor.

În capitolul doi am prezentat clase particulare de inele, punând accentul pe inelele semisimple, noertheriene şi artiniene cu prezentarea proprietăţilor structurale corespunzătoare. Am prezentat aici şi proprietăţi legate de descompunerea inelului în sume directe de ideale.

În capitolul trei am prezentat structuri fundamentale din clasa modulelor necesare studiului structurii inelelor. Am prezentat câteva clase de module de vizualizarea structurii aferente şi câteva instrumente de investigaţie în categoria modulelor.

În ultimul capitol am prezentat teoremele clasice de structură inelelor punând accentul pe teorema Wedderburn – Artin care ne arată ca inelele semisimple se pot identifica cu sume directe de inele de matrici peste un corp. Este prezentată teorema de densitate şi aplicaţiile acesteia în studiul structurii inelelor.

În finalul capitolului al IV-lea am prezentat structura inelelor primitive şi semiprimitive.

CAP I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE

1.1. Definiţia inelului. Exemple

Definiţie. Se numeşte inel un triplet format dintr-o mulţime A Ø (nevida) şi două operaţii interne, una notată cu ‘’+’’ şi numită adunare, iar cealată notată cu ‘’∙’’ şi numită înmulţire, şi care satisface următoarele trei grupuri de axiome:

(I) (A,+) grup abelian ;

(II) (A,∙) semigrup ;

(III)( ) x, y, z A

Ultimul grup de axiome se numeşte distributivitatea la stânga şi la dreapta a înmulţirii faţă de adunare.

Elementul neutru la adunare se notează cu "0", iar simetricul unui element a A se notează cu –a şi se numeşte opusul elementului a.

Dacă semigrupul (A,∙) este monoid, adică are element neutru la înmulţire, atunci inelul se numeşte inel cu unitate sau inel unitar. Unitatea dacă exită se notează cu "1", dar vor exista situaţii în care unitatea se va nota cu "e".

Un inel se numeşte inel comutativ dacă operaţia de înmulţire este comutativă. Aşa cum reiese din definiţie un inel este un grup aditiv abelian şi deasemenea cu înmulţirea unui semigrup.

Exemple de inele:

1) Mulţimile Z, Q, R cu operaţiile obişnuite de adunare şi înmulţire formează inele comutative şi unitare.

2) Dacă n Z este un număr întreg, atunci muţimea nZ = {nk/k Z} este inel comutativ faţă de adunarea şi înmulţirea obişnuită a numerelor întregi.

3) Mulţimea C([0,1],R) = {f :[0,1] R/ f continuă} cu adunarea şi înmulţirea funcţiilor, f+g şi fg, definite în mod uzual:

(f+g)(x) = f(x) + g(x) şi

(fg)(x) = f(x)g(x)

este un inel comutativ şi unitar.

4) Mulţimea Z ={ } a claselor de resturi modulo n împreună cu adunarea şi înmulţirea claselor, formează un inel comutativ şi unitar numit inelul claselor de resturi modulo n.

5) Fie R un inel. Vom defini un nou inel R în modul următor. Grupurile aditive subiacente celor două inele coincid, adică (R ,+) = (R,+). Operaţia de înmulţire "∙"din R o definim prin a b = ba, unde ba este produsul elementelor b şi a în inelul R. Este clar că R este inel, iar dacă R este unitar, atunci R este unitar, având acelaşi element unitar ca şi R. Avem ca inelele R şi R coincid dacă şi numai dacă R este comutativ. Inelul R se numeşte inelul opus al lui R.