INTRODUCERE 3 1.Inele de polinoame 5 1.1. Inelul polinoamelor in nedeterminata X 5 1.2. Gradul unui polinom 7 1.3. Adunarea si inmultirea polinoamelor. Proprietati 9 1.3.1. Proprietatile adunarii polinoamelor 10 1.3.2. Proprietatile inmultirii polinoamelor 11 1.4. Functia polinomiala. Radacina a unui polinom 11 1.5. Impartirea polinoamelor 13 1.5.1. Teorema impartirii cu rest a polinoamelor 14 1.5.1.1. Algoritmul impartirii polinoamelor 15 1.5.2. Teorema restului 16 1.5.2.1. Schema lui Horner 17 1.6. Divizibilitatea polinoamelor 18 1.6.1. Relatia de divizibilitate. Proprietati. 18 1.6.2. Descompunerea in factori ireductibili a polinoamelor 20 1.6.3. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid 22 1.6.4. Cel mai mic multiplu comun 24 2.Radacinile polinoamelor 26 2.1. Radacinile polinoamelor. Teorema lui Bezout. 26 2.2. Radacini multiple 27 2.4. Radacinile polinoamelor cu coeficienti complecsi 30 2.5. Radacinile polinoamelor cu coeficienti reali 31 2.6. Radacinile polinoamelor cu coeficienti rationali 32 2.7. Radacinile polinoamelor cu coeficienti intregi 33 3.Ecuatii algebrice 36 3.1. Notiunea de ecuatie 36 3.2. Ecuatii algebrice. Generalitati 37 3.2.1. Ecuatia de gradul I 38 3.2.2. Ecuatia de gradul al II-lea 40 3.2.3. Ecuatii binome 44 3.2.4. Ecuatii bipatrate 45 3.2.5. Ecuatii reciproce 45 3.3. Aplicatii 47 Bibliografie 53
INTRODUCERE
Studiul polinoamelor si ecuatiilor algebrice constituie o parte a matematicii foarte importanta datorita exercitiilor numeroase si variate. Calculul cu polinoame sta la baza multor procedee de rezolvare prezente in matematica.
Cuvantul polinom provine din cuvantul grecesc poly care inseamna multe si substantivul latin nomen ce semnifica nume. Aceasta denumire este folosita pentru prima data in secolul al VII- lea.
Preocuparea pentru polinoame si implicit pentru ecuatiile algebrice dateaza din cele mai vechi timpuri si este prezenta pe toate continentele. Marturie stau lucrarile din secolul al 9-lea, ale matematicianului persan Muhammad ibn Musa Khwarizmi care a prezentat in detaliu rezolvarea algebrica a ecuatiilor patratice cu radacini pozitive si a fost primul care a predat algebra intr-o forma elementara. O alta lucrare este Precious Mirror of the Four Elements scrisa de Chu Shih-chieh (1280-1303), in care se prezinta solutii ale unor ecuatii algebrice de ordin superior, folosind o metoda similara metodei lui Horner.
Odata cu trecerea timpului, dorinta omenirii de a dezlega misterele lumii inconjuratoare a crescut, astfel secolul al 19-lea reprezinta un secol important in dezvoltarea algebrei. Norvegianul Niels Henrik Abel a demonstrat ca nu exista o metoda generala algebrica pentru rezolvarea ecuatiilor polinomiale de grad mai mare decat patru. Francezul Evariste Galois a determinat conditia necesara si suficienta ca o astfel de ecuatie sa poata fi rezolvabila prin radicali.
Lucrarea este structurata pe trei capitole, ce pornesc de la prezentarea polinoamelor, traverseaza cateva notiuni despre ecuatii algebrice si se opreste la aplicatii ce imbina proprietatile divizibilitatii polinoamelor cu tipurile si numarul radacinilor unei ecuatii algebrice.
In primul capitol se studiaza probleme fundamentale referitoare la notiunea de polinom: constructia inelului polinoamelor in nedeterminata X, proprietati ale sale, operatii cu polinoame, divizibilitatea polinoamelor.
Al doilea capitol prezinta radacinile polinoamelor, cu teoreme si aplicatii in functie de tipul acestora si numarul lor.
Partea aplicativa a lucrarii este prezenta in capitolul trei, unde se pleaca de la cateva generalitati teoretice ale ecuatiilor algebrice, se continua cu prezentarea tipurilor de ecuatii algebrice studiate la nivel liceal si se termina cu aplicatii diverse intalnite in exercitiile elevilor liceeni.
Fiecare notiune teoretica este insotita de exemple, prin care s-a dorit corelarea termenilor teoretici cu aplicatii de sine statatoare.
Inele de polinoame
Capitolul I
Inelul polinoamelor in nedeterminata X
Fie A un inel comutativ, cu element unitate 1?A si N multimea numerelor naturale.
Notam cu A' multimea tuturor functiilor de la N la A, adica
A'={f|f:N- A},
Un element f?A^', fiind o functie, se reprezinta cu ajutorul valorilor sale sub forma
f = (a0, a1, , ai, ) = (a_i )_(i?N).
Daca ,g?A^' , f = (a_i )_(i?N), , g = (b_i )_(i?N), atunci f = g <=> a_i ?= b?_i, oricare ar fi i?N .
Pe multimea A^' definim doua legi de compozitie interne, adunarea si inmultirea.
Adunarea si inmultirea se defineste in felul urmator : daca f,g?A^', f = (a0, a1, , ai, ), g = (b0, b1, , bi, ) atunci f+g = (a0 +b0, a1 +b1, , ai, +bi ) si fg = (c0, c1, , ci, ), unde c_k= ?_(i+j= k)??a_i b_j ? , pentru toti k?N.
Fie f,g,h?A^', f = (a_i )_(i?N), g = (b_i )_(i?N), h = (c_i )_(i?N). Atunci, pentru orice i?N avem
a_(i )+ ? b?_i=? b?_i + a_(i )
si
?(a?_(i )+ ? b?_i)+c_i=? a?_i +(b_(i )+ c_i)
deoarece adunarea este comutativa si asociativa.
Rezulta ca
f +g = g + f si (f + g) +h = f +(g +h),
adica adunarea in A^'este comutativa si asociativa.
Exista in A^' element neutru fata de adunare, care este functia 0 : N? A, 0(i) = o, pentru orice i?N .
Pentru orice f?A^', f = (a_i )_(i?N), opusul sau este - f = (-a_i )_(i?N), - f?A^' si f + ( - f) = ( - f) + f = 0.
1. Dinescu C., Savulescu B.-Sinteze de algebra, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1983 2. Dragomir A., Dragomir P.- Structuri algebrice, Editura Facla, Timisoara,1981 3. Draghici D. - Algebra, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1972 4. Frigioiu Camelia, Algebra liniara si geometrie, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti 2004 5. Ganga M. - Manual pentru clasa a XII- a, Elemente de algebra, Editura Mathpress, Ploiesti,2007 6. Ganga M. - Probleme rezolvate din manualele de clasa a XII-a, Editura Mathpress, Ploiesti,2007 7. Ghircoiasu N., Iasinschi M.- Fise de algebra pentru absolventii de licee, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976 8. Hollinger A., Georgescu- Buzau E.- Elemente de algebra superioara (manual clasa a XII-a), Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1969 9. Mihaileanu N.- Complemente de algebra elementara, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1968 10. Nastasescu C, Nita C.-Teoria calitativa a ecuatiilor algebrice, Editura tehnica, Bucuresti, 1979 11. Nastasescu C, Nita C., Andrei Gh., Radutiu M.-Matematica (manual clasa a IX-a), Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 2000 12. Nastasescu C, Nita C., Soare N., Nitescu D., Dumitrescu M.-Matematica (manual clasa a X-a), Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 2000 13. Nicolescu Catalin Petru-100 lectii matematica fara meditator, Editura Icar, Bucuresti, 1991 14. Panaitopol L., Draghicescu I.C.-Polinoame si ecuatii algebrice, Editura Albatros, Bucuresti, 1980
Ne pare rau, pe moment serviciile de acces la documente sunt suspendate.
