Studiul Grupurilor Finite are Aplicații în Diverse Domenii ale Matematicii și în Alte Științe Precum Fizica și Chimia

Introducere

Lucrarea tratează teoria grupurilor finite, cu definirea structurilor fundamentale şi caracterizarea instrumentelor de investigaţie specifice.

Studiul grupurilor finite are aplicaţii în diverse domenii ale matematicii şi în alte ştiinţe precum fizica şi chimia.

În primul capitol am făcut o scurtă introducere în teoria grupurilor definind noţiunea de grup, produsul direct a două grupuri, morfisme de grupuri şi am caracterizat grupurile ciclice, grupurile finite şi subgrupurile unui grup.

În capitolul II am enunţat teorema lui Lagrange şi teoreme de izomorfism prezentând definiţia indicelui unui subgrup într-un grup şi caracterizând subgrupurile generate de o mulţime, subgrupurile normale şi grupurile factor. Am dat drept consecinţe teoremele lui Euler, Fermat şi Wilson. În finalul capitolului am prezentat teoremele de izomorfism cu aplicaţii la studiul subgrupurilor unui grup ciclic şi a grupurilor rezolubile.

În capitolul III am prezentat grupurile abeliene finit generate insistând asupra structurii acestora cu evidenţierea părţii de torsiune a unui grup abelian şi caracterizând grupurile abeliene libere de rang finit şi p-grupurile abeliene. Ne-am ocupat şi de determinarea tuturor tipurilor de grupuri abeliene finit generate şi am caracterizat grupul automorfismelor unui grup ciclic.

Cap.I: Introducere în teoria grupurilor

§ 1. Definiţia noţiunii de grup. Exemple de grupuri.

(1.1) Definiţie. Se numeşte grup o mulţime nevidă G împreună cu operaţia algebrică pe G care are proprietatea:

1) este asociativă;

2) admite element neutru;

3) orice element din G să fie simetrizabil.

(1.2) Definiţie. Dacă operaţia grupului este comutativă grupul se numeşte comutativ (abelian).

Notăm un grup cu (G; ) unde legea de compoziţie este notată multiplicativ.

(1.3) Exemple de grupuri.

1) Mulţimile Z, Q, R, C sunt grupuri comutative în raport cu operaţia de adunare a numerelor.

2) Mulţimile Q*, R*, C* sunt grupuri comutative în raport cu operaţia de înmulţire a numerelor.

3) Mulţimile Q , R = (0; ) sunt grupuri comutative în raport cu operaţia de înmulţire a numerelor.

4) Grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, (n  2): Zn = { , …,n-1} este mulţimea claselor de resturi modulo n care se obţine împărţind mulţimea Z în n submulţimi cu proprietatea că fiecare submulţime conţine toate numerele întregi care dau acelaşi rest la împărţirea la n. Aceste submulţimi formează o partiţie a mulţimii Z, iar ca reprezentant într-o clasă de resturi se alege cel mai mic număr natural din clasă.

Pe Zn se poate introduce operaţia de adunare a claselor + : Zn x Zn  Zn. + = x + y . Această operaţie este bine definită, adică nu depinde de alegerea reprezentanţilor claselor de resturi.

(Zn; +) – grup comutativ.

5) Grupul permutărilor unei mulţimi.

Fie M  , S(M) = {f : M  M | f bijectivă}.

Deoarece compunerea funcţiilor este asociativă, are element neutru, funcţia 1M şi orice funcţie f bijectivă este inversabilă cu inversa tot bijectivă  S(M) are o structură de grup în raport cu operaţia de compunere a funcţiilor. Deoarece compunerea funcţiilor este necomutativă acest grup este necomutativ.

O funcţie bijectivă de la o mulţime în ea însăşi se mai numeşte şi permutare a acelei mulţimi. Din acest motiv grupul (S(M); ) se mai numeşte şi grupul permutărilor mulţimii M.

6) Fie (G; ) – un grup şi I   o mulţime. Considerăm mulţimea GI = {f : I  G}, adică mulţimea tuturor funcţiilor definite pe I cu valoari în G. GI are o structură de grup în raport cu operaţia de înmulţire a funcţiilor indusă de operaţia grupului G, () f, g  GI definim f  g  GI prin: (f  g)(x) = f(x)  g(x), () x  I.

Dacă G este un grup comutativ atunci GI este tot comutativ. Elementul neutru al grupului GI este funcţia f0: I  G, f0(x) = e, () x  I, unde e este elementul neutru din G,iar simetricul elementului f : I  G este funcţia (x) = f’(x), () x  I, f’(x) este simetricul lui f(x).

7) Grupul elementelor inversabile ale unui monoid.